一般均衡到阿罗德布鲁市场

一般均衡的不严谨分析

一般均衡的求解分为两个部分, 一部分是个人决策的最优化, 另一部分是市场出清.

在没有生产的单期一般均衡模型中, 每个人对每种商品有初始的禀赋 (e1,e2,⋯ ,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n), 并有效用函数 u()u(). 所有的参与者参与交易, 最终所有商品的需求量等于所有人的禀赋之和. 每个人对每种商品的禀赋与需求之差在市场上买入或者卖出. 价格的调整让需求和供给达到平衡.

注意到这里所有的价格方程都是线性的,也就是说价格的等比例调整不会影响等号成立与否. 在所有商品的均衡价格都是正数的情况下(只要效用函数对每个商品的偏导数都大于0, 均衡价格就一定是正的)不妨假设一种商品的价格为1, 则在没有共线性的情况下可以用以上的方程求解出唯一的均衡.

阿罗德布鲁市场与阿罗证券

考虑下面的两期设定, 第 0 期有唯一确定的状态, 第一期有 S 个可能的状态, 在每个状态下市场都开放, 参与者可以在任意一期进行交易. 商品不可储存, 每一期的商品只能在当期消费. 每个人有对各个状态 (0,1,2,…,S) 下消费的效用函数 uu, 并且在每一期有确定的禀赋. 在每个状态下每个商品供需的调整让市场出清. 由此可求解出一般均衡.

虽然商品不可储存, 但是对个人来说仍然可以实现跨状态的消费转移. 假设想要把消费从 i 转移到 j, 通过在 i 期多卖出一些商品, 而在 j 期买入商品, 就实现了转移.(这里存疑回头再看看, 这里的跨期是靠现金实现的吗? 好像是这样的)

考虑接下来的设定: 只有第一期可以交易, 并引入一种新的东西叫阿罗证券, 其特征在于仅在未来特定的某一个状态拥有一单位的特定一种(这里假设都是第一种)商品. 则任意两个状态间的消费可以通过买卖对应的阿罗证券进行转移. 均衡时, 对各个阿罗证券的买卖之和都是零.

阿罗证券的作用是抽象刻画了不同状态下消费的转移.不同状态的转移原先是通过资产价格的变化实现的, 而在引入了阿罗证券后,一种阿罗证券 AsA_s实现的是状态 00 与 ss 的转移. 如果买入阿罗证券, 则意味着减少 00 状态的消费, 增加状态 ss 中的消费. 阿罗证券还可以刻画任意两个状态之间的消费转移: 只要同时买入和卖出两个状态对应的阿罗证券, 就可以通过状态 00 为桥梁不造成另外影响地实现消费转移.

这两种设定其实是等价的. 两种方式都可以实现消费的跨期转移.

阿罗德布鲁的贡献在于证明了在满足产出集合凸的条件下一定存在均衡.

阿罗德布鲁市场下的资产定价

考虑以下这样的问题:

  • 有 JJ 种资产
  • 在第一期世界有 SS 个可能的状态, 对应的概率分别为 π1,⋯ ,πS\pi_1,\cdots, \pi_S, 满足 Σπs=1\Sigma \pi_s = 1
  • 在状态 ss 资产 jj 的价格为 xjsx_j^s, 对应的支付矩阵为 X=[x11⋯xJ1⋮⋮x1S⋯xJS]=(x1,⋯ ,xJ)X = \left[ \begin{matrix} x_1^1 & \cdots & x_J^1\\ \vdots & & \vdots \\ x_1^S & \cdots & x_J^S \end{matrix}\right] = (x_1, \cdots, x_J)
  • 资产构成完备市场: 通过资产的组合可以构建出任意的不同状态下的收益向量, 即 rank(X)=S\text{rank}(X) = S.

记 ε1\varepsilon_1 为仅第 ii 个元素为 11 其余都是 00 的列向量, 完备市场下 Is=(ε1,⋯ ,εS)I_s = (\varepsilon_1,\cdots ,\varepsilon_S) 可由 {x1,⋯ ,xJ}\{x_1, \cdots, x_J\} 线性表出. 记 X(η1,⋯ ,ηS)=ISX(\eta_1, \cdots, \eta_S) = I_S.

一个 ηj\eta_j 构建出的资产 AjA_j 在不同状态下的收益为 εj\varepsilon_j, 说明其仅在第 jj 个状态下有一单位支付. 记这样的资产为阿罗证券(A1,⋯ ,ASA_1, \cdots , A_S). 在完备市场的假设下, 一定可以用现实中的资产构建出这样的阿罗证券, 这对接下来的计算和理解有极大的简化作用.

由线性代数的基础知识, 每个现实中的资产都可以用阿罗证券表示出来, 例如资产 jj 可以表示为 Σj=1SxijAj\Sigma_{j = 1}^S x_i^j A_j, 这在任一状态的支付都是相同的.

如果我们最终的目的是确定资产的价格, 那只要确定了阿罗证券的价格 φ1,⋯ ,φS\varphi_1, \cdots, \varphi_S, 就可以计算各个资产的价格 (一价定律). 因为在无套利定价的情况下每种资产只有一种价格(不然显然可以做中间商赚差价), 对于阿罗证券等价组合出来的资产和原先资产既然在各个状态都相同, 则其价格也相同, 于是原先资产 jj 的价格为 pj=Σj=1Sxijφjp_j = \Sigma_{j=1}^S x_i^j \varphi_j. 这里还可以得到无风险资产的价格: 无风险就是在任意状态下的支付相同, 所以单位无风险资产的价格就是 Σj=1Sφj\Sigma_{j=1}^S \varphi_j, 如果无风险利率为 rr, 则e−r=Σj=1Sφje^{-r} = \Sigma_{j=1}^S \varphi_j.

假设有 nn 个消费者, 通过求解一般均衡来确定资产在第 0 期的价格.

首先是消费者的最优化问题:

  • 消费者的效用函数为 u(c)u(c), 在状态 ii 下的消费为 cic_i
  • 消费者的折现因子是 δ\delta
  • 消费者在状态 ii 下的禀赋是 eie_i, 其中 i=0,1,2,⋯ ,Si = 0,1,2,\cdots,S.
  • 消费者通过在第 00 期购买数量为 θ1,⋯ ,θS\theta_1 ,\cdots, \theta_S 的阿罗证券实现自己在不同状态间的消费转移

因此优化问题等价于

max⁡u(c0)+δΣsπsu(cs)\max u(c_0) + \delta \Sigma_s \pi_s u(c_s)

s.t.c0=e0−Σsφsθs\text{s.t.} c_0 = e_0 - \Sigma_s \varphi_s \theta_s

ci=ei+θii=1,2,⋯ ,Sc_i = e_i + \theta_i \quad i = 1,2,\cdots,S

将后 SS 个约束代入, 仅留下第一个约束, 写出拉格朗日函数为

L=u(c0)+δΣsπsu(cs)−λ(−c0+e0−Σsφs(es−cs))L = u(c_0) + \delta \Sigma_s \pi_s u(c_s) - \lambda (-c_0 + e_0 - \Sigma_s \varphi_s (e_s - c_s))

由一阶条件得

∂L∂c0=u′(c0)−λ=0\frac {\partial L}{\partial c_0} = u'(c_0) - \lambda = 0

∂L∂cs=δπsu′(cs)−λφs=0s=1,2,⋯ ,S\frac {\partial L}{\partial c_s} = \delta \pi_s u'(c_s) - \lambda \varphi_s = 0 \quad s = 1,2,\cdots,S

消去 λ\lambda 得 δu′(s)u′(c0)=φsπs=defm~s\frac{\delta u'(s)}{u'(c_0)} = \frac{\varphi_s}{\pi_s} \overset{\text{def}}{=} \tilde m_s, 这里的 m~s\tilde m_s 是市场状态为 ss 时的资产随机折现因子, 先放着之后再讲.

然后均衡时各个状态市场出清:

  • 每个状态下所有人的消费之和等于禀赋之和.

Σn=1Nθn=Σnθendowmentn\Sigma_{n = 1}^N \theta^n = \Sigma_n \theta_{endowment}^n

个人的优化问题给出了阿罗证券价格到每个人购买的阿罗证券组合的函数, 于是所有的未知数就是 S 个阿罗证券的价格. 由各个状态下市场出清给出了另外的 S 个方程, 于是线性方程在没有共线性的情况下有唯一解.

任何一个完备市场都等价于阿罗德布鲁市场, 因此求解时直接考虑对应的阿罗证券以及各个状态下市场出清即可.

下面引用徐高老师的一个均衡算例:

市场中有两种资产, 其在第一期的状态价格矩阵为

X=[10.512]X = \left[ \begin{matrix} 1 & 0.5\\ 1 & 2 \end{matrix}\right]

这里第一种资产在两种状态下的价格不变, 可以理解成债券(或者纯纯的消费品?). 第二种资产在两种状态下价格分别减半和翻倍, 可以理解为股票.

假设两状态的概率为 π1=π2=0.5\pi_1 = \pi_2 = 0.5, 两人的折现因子都是 δ=1\delta = 1.

第一个人的禀赋为第 0 期的 11 单位消费品(这里到底是不是第一种资产啊???), 第二个人的禀赋为第一期的 11 单位股票.

引入阿罗证券, 其价格为 φ1,φ2\varphi_1, \varphi_2.

第一个人的效用函数 u1(c)=ln⁡cu_1(c) = \ln c, 第二个人的效用函数 u2(c)=2cu_2(c)= 2 \sqrt c. 两个效用函数都是 CRRA (常相对风险规避, 相对风险回避系数为 −cu′′(c)/u′(c)=θ−cu''(c) /u'(c) = θ,与c无关) 的.

第一步: 求解个人最优化问题(personal optimization)

假设第 i 个人在状态 s 下的消费为 ci,sc_{i, s}.

在第一期第一个人没有任何东西, 所以为了有消费需要在第 0 期购买对应数量的阿罗证券.

第一个人的优化问题为:

max⁡ln⁡c1,0+(12ln⁡c1,a+12ln⁡c1,b)\max \ln c_{1,0} + (\frac 1 2 \ln c_{1,a} + \frac 1 2 \ln c_{1,b})

s.t. c1,0+c1,aφa+c1,bφb=1\text{s.t. } c_{1,0} + c_{1,a}\varphi_a + c_{1,b} \varphi_b = 1

第二个人的优化问题为:

max⁡2c2,0+(122c2,a+122c2,b)\max 2 \sqrt {c_{2,0}} + (\frac 1 2 2 \sqrt {c_{2,a}} + \frac 1 2 2 \sqrt {c_{2,b}})

s.t. c2,0+c2,aφa+c2,bφb=0.5φa+2φb\text{s.t. } c_{2,0} + c_{2,a}\varphi_a + c_{2,b} \varphi_b = 0.5 \varphi_a + 2 \varphi_b

这里的约束可以看得更清楚. 这个人在所有状态下拥有的禀赋是第一期的 11 单位股票, 带来的收益相当于持有 0.5 单位的第一种阿罗证券和 2 单位的阿罗证券. 所以对应在第 0 期的价格是 0.5φa+2φb0.5 \varphi_a + 2 \varphi_b.

构造拉格朗日函数求解优化问题, 可以得到所有的 cc 关于 φ1,φ2\varphi_1, \varphi_2 的表达式.

第二步: 通过价格的调整让市场出清 (market clear)

第 0 期总禀赋为 1 单位消费品, 第 1 期总禀赋为一单位股票, 对应的价格为 aa 状态下 0.5 以及 bb 状态下 2. 因此市场出清的条件是

{c1,0+c1,0=1c1,a+c2,a=0.5c1,b+c2,b=2\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} c_{1,0} + c_{1,0} & = 1 \\ c_{1,a} + c_{2,a} & = 0.5 \\ c_{1,b} + c_{2,b} & = 2 \end{array} \right. \end{equation*}

求解以上所有条件可得阿罗证券的价格, 因此确定了在第 0 期股票的价格为 0.5φa+2φb0.5 \varphi_a + 2 \varphi_b.

我觉得这个算例有一些奇怪的地方:

  • 在每一期只有一种特定的资产数量为正
  • 矩阵表示的是在各个状态下各种资产的价格, 在这里资产 1 显然是一种无风险资产, 但在算出的均衡中 φa+φb>1\varphi_a + \varphi_b > 1, 说明无风险资产甚至贬值了?
  • 效用函数是基于每个时期的消费, 这里的消费怎么定义? 这里好像把第 0 期的消费定义成了第一种商品交易后的持有量吗? 但是第 1 期好像又成了自己拥有的资产对应的价格? 这里总有一些奇异的地方说不清楚. 这里要是设定第 0 期的消费品并不是第一种资产, 而是和第 1 期卖掉资产获得的收益一样的东西, 那这件事好像就说得通了, 这样的话市场上就存在三种东西: 两种资产以及一个他们对应到的价格的 “钱(消费品)”?

完备市场下的资产状态价格矩阵到底用来干什么

回顾经济学福利第一定理: 在完全竞争市场中, 通过个人追求自身利益最大化和价格的调整所实现的均衡是帕累托最优的.

经济学福利第二定理: 如果可以对个体的初始禀赋进行适当的再分配, 则任何一个帕累托最优的社会分配都可以通过自由竞争达到.

考虑经济中的最优化问题(有一个中央计划者):

max⁡cksΣk=1Kμk[uk(ck0)+δΣs=1Sπsuk(cks)]\max_{c_{ks}} \Sigma_{k = 1}^K \mu_k[u_k(c_{k0}) + \delta\Sigma_{s = 1}^S \pi_s u_k(c_{ks})]

s.t. Σk=1Kcks≤Σk=1Kekss=0,1,2,⋯ ,S\text{s.t. } \Sigma_{k = 1}^K c_{ks} \le \Sigma_{k = 1}^K e_{ks} \quad s = 0,1,2,\cdots, S

μ\mu 表示每个人在经济中的权重.

构造拉格朗日函数求解优化问题, 令拉格朗日乘子为 η0,⋯ ,ηS\eta_0,\cdots, \eta_S.

∂L∂ck0=0⇒μkuk′(ck0)=η0⇒ck0=uk′−1(η0μk)\frac{\partial L}{\partial c_{k0}} = 0 \Rightarrow \mu_k u_k'(c_{k0}) = \eta_0 \Rightarrow c_{k0} = u_k'^{-1}(\frac{\eta_0}{\mu_k})

∂L∂cks=0⇒δμkuk′(cks)=ηs⇒cks=uk′−1(ηsδμkπs)\frac{\partial L}{\partial c_{ks}} = 0 \Rightarrow \delta \mu_k u_k'(c_{ks}) = \eta_s \Rightarrow c_{ks} = u_k'^{-1}(\frac{\eta_s}{\delta \mu_k \pi_s})

上一节通过个人最优化得到以下结论：

uk′(ck0)=λk⇒ck0=uk′−1(λk)u_k'(c_{k0}) = \lambda_k \Rightarrow c_{k0} = u_k'^{-1}(\lambda_k)

δπsuk′(cks)=λkφs⇒cks=uk′−1(λkφsδπs)\delta \pi_s u_k'(c_{ks}) = \lambda_k \varphi_s \Rightarrow c_{ks} = u_k'^{-1}(\frac{\lambda_k \varphi_s}{\delta \pi_s})

若 λk=η0μk,φs=ηsη0\lambda_k = \frac{\eta_0}{\mu_k}, \varphi_s = \frac{\eta_s}{\eta_0}, 则一般均衡的解等于中央计划的解 (帕累托有效).

说明给定一组 μk\mu_k, 通过调整每个人初始的财富使得影子价格为 λk\lambda_k, 使得一般均衡的解就是帕累托有效的解. 所以接下来分析一般均衡时只要分析中央计划者问题即可.

均衡下每个人的消费变动只和总禀赋 e0,⋯ ,eSe_0,\cdots, e_S 的变动有关, 与自己(各个状态中)的禀赋变动无关

cs=Σkcks=Σkuk′−1(μsδμkπs)c_s = \Sigma_k c_{ks} = \Sigma_k u_k'^{-1}(\frac{\mu_s}{\delta \mu_k \pi_s})

说明 ηs=g(cs)=g(es)\eta_s = g(c_s) = g(e_s), 代入 cksc_{ks}, 得

cks=uk′−1(g(es)δμkπs)c_{ks} = u_k'^{-1}(\frac{g(e_s)}{\delta \mu_k \pi_s})

一个人的总禀赋 ek0+Σsφsekse_{k0} + \Sigma_s \varphi_s e_{ks} 决定了 λk\lambda_k, 进而决定了 μk\mu_k, 这与个人禀赋在各个状态的分布是无关的.

∀s,s′\forall s,s', 如果 $c_s > c_{s’}, 那么 ∀k\forall k, cks>cks′c_{ks} >c_{ks'}

(Wilson 定理) 定义绝对风险容忍度 T(c)=1RA(c)=−u′(c)u′′(c)T(c) = \frac{1}{R_A(c)} = - \frac{u'(c)}{u''(c)}, 则 dcksdes=Tk(cks)ΣkTk(cks)\frac{dc_ks}{de_s} = \frac{T_k(c_{ks})}{\Sigma_k T_k(c_{ks})}.

说明风险容忍度大的人消费波动小.

扯了这么多, 好像离题了, 我们关心的是完备市场下的资产价格怎么确定.

回到之前的问题, 消费者最大化自己的效用, 这里不使用阿罗证券, 直接假设购买 θ1,⋯ ,θj\theta_1, \cdots,\theta_j 的资产:

max⁡u(c0)+δΣsπsu(cs)\max u(c_0) + \delta \Sigma_s \pi_s u(c_s)

s.t.c0=e0−Σjpjθj\text{s.t.} c_0 = e_0 - \Sigma_j p_j \theta_j

ci=ei+Σjxsjθji=1,2,⋯ ,Sc_i = e_i + \Sigma_j x_s^j \theta_j \quad i = 1,2,\cdots,S

全部约束代入目标函数后求一阶条件:

−pju′(c0)+δ(Σsπsu′s(cs)xsj-p_ju'(c_0) + \delta(\Sigma_s \pi_s u's(c_s)x_s^j

⇒1=δΣsπsu′(cs)u′(c0)xsjpj(*)\Rightarrow 1 = \delta \Sigma_s \pi_s \frac{u'(c_s)}{u'(c_0)} \frac{x_s^j}{p_j} \tag{*}

xsjpj=1+rsj\frac{x_s^j}{p_j} = 1 + r_s^j, 其中 rsjr_s^j 是资产的回报率.

(∗)(*) 可以看作期望, 即 1=E[δu′(c1~)u′(c0)(1+rj~)]1 = \mathbf{E}[\delta \frac{u'(\tilde {c_1})}{u'(c_0)}(1 + \tilde {r_j})]

所有消费者均满足上式, 所以任意找一个消费者即可给资产定价 (因为均衡中每个人都认可价格).

引入一个代表性消费者不会使得分析产生太大的偏差.

消费者效用函数是 HARA 时, 引入代表性消费者, c=Σkckc = \Sigma_k c_k.

定义随机变量随机折现因子 m~=δu′(c1~)u′(c0)\tilde m = \delta \frac{u'(\tilde {c_1})}{u'(c_0)}, 则 (∗)(*) 可以写成 1=E[m~(1+ej~)]1 = \mathbf{E}[\tilde m (1 + \tilde {e_j})].

将无风险利率 rfr_f 代入, 得 1+rf=1E[m~]1 + r_f = \frac{1}{\mathbf{E}[\tilde m]}. 两式相减得

0=E[m~rj~]−E[m~rf]=Σsπsmsrjs−Σsπsmsrf=Σsπsms(rjs−rf)=E[m~(rj~−rf)]=E[m~]E[rj~−rf]+Cov(m~,rj~)=E[rj~]−rf1+rf+Cov(m~,rj~)\begin{align*} 0 &= \mathbf{E}[\tilde m \tilde{r_j}] - \mathbf{E}[\tilde m r_f] \\ &= \Sigma_s \pi_s m_s r_j^s - \Sigma_s \pi_s m_s r_f \\ &= \Sigma_s \pi_s m_s(r_j^s - r_f) \\ &= \mathbf{E}[\tilde m(\tilde{r_j} - r_f)] \\ &= \mathbf{E}[\tilde m]E[\tilde{r_j} - r_f] + \text{Cov} (\tilde m,\tilde{r_j}) \\ &= \frac{\mathbf{E}[\tilde{r_j}] - r_f}{1 + r_f} + \text{Cov}(\tilde m,\tilde{r_j}) \end{align*}

⇒E[rj~]−rf=−(1+rf)Cov(m~,rj~)=−(1+rf)δu′(c0)Cov(u′(c1~),rj~)\Rightarrow \mathbf{E}[\tilde{r_j}] - r_f = -(1 + r_f)\text{Cov}(\tilde m,\tilde{r_j}) = -\frac{(1 + r_f)\delta}{u'(c_0)} \text{Cov}(u'(\tilde {c_1}),\tilde{r_j})

若取 u(c)=−ac2+bc(a>0)u(c) = -ac^2 + bc\quad(a>0),

设市场组合 M:XsM=es,rM~=c1~pM−1M: X_s^M = e_s, \tilde {r_M} = \frac{\tilde{c_1}}{p_M} - 1, 则随机折现因子 m~=δ−2ac1~+b−2ac0+b\tilde m = \delta \frac{-2a\tilde{c_1} + b}{-2ac_0 +b}.

E[rj~]−rf=−(1+rf)Cov(δ−2ac1~+b−2ac0+b,rj~)=2aδ(1+rf)−2ac0+bCov(c1~,rj~)=2aδ(1+rf)pM−2ac0+bCov(c1~pM−1,rj~)=def△Cov(rM~,rj~)\begin{align*} \mathbf{E}[\tilde{r_j}] - r_f &= -(1 + r_f)\text{Cov}(\delta \frac{-2a\tilde{c_1} + b}{-2ac_0 +b},\tilde{r_j}) \\ &= \frac{2a\delta(1 + r_f)}{-2ac_0 + b} \text{Cov}(\tilde{c_1},\tilde{r_j}) \\ &= \frac{2a\delta(1 + r_f)p_M}{-2ac_0 + b} \text{Cov}(\frac{\tilde{c_1}}{p_M} - 1,\tilde{r_j}) \\ & \overset{\text{def}} {=} \triangle \text{Cov}(\tilde{r_M},\tilde{r_j}) \end{align*}

j=Mj = M 代入, 得

E[rM~]−rf=△Cov(rM~,rM~)=△Var(rM~)\mathbf{E}[\tilde{r_M}] - r_f = \triangle \text{Cov}(\tilde{r_M},\tilde{r_M}) = \triangle \text{Var} (\tilde{r_M})

两式相除, 得

E[rj~]−rf=Cov(rM~,rj~)Var(rM~)(E[rM~]−rf)=βj(E[rM~]−rf)\mathbf{E}[\tilde{r_j}] - r_f = \frac{ \text{Cov}(\tilde{r_M},\tilde{r_j})}{\text{Var} (\tilde{r_M})}(\mathbf{E}[\tilde{r_M}] - r_f) = \beta_j(\mathbf{E}[\tilde{r_M}] - r_f)

这就得到了 CAPM 方程.