期权公式

香草期权 (Vanilla Option)

香草期权是“最简单”的期权, 通常有欧式期权（到期日才能行权）和美式期权（到期日前任意交易日行权）之分. 在冰淇淋中, 国外认为香草味是最纯粹, 最原始的味道, 所以用它来命名期权的原因就是：这种期权的结构是最单一、最普通的, 没有内嵌任何特殊条款.

看涨期权 (Call(T,K)) 是在未来时刻 T 以价格 K 买入标的的权利, 看跌期权是(Put(T,K)) 是在未来时刻 T 以价格 K 卖出标的的权利.

期权的理论价格可以用蒙特卡洛模拟获得, 也可以用 BS 公式求得. 这些定价基于无套利, 且以波动率 sigma 作为参数.

中国市场的期权都是欧式期权

BS 公式

Black-Sholes 定价的起源是无套利, 即风险中性测度下, 期权的价格为期望收益的折现:

$$C = e^{-rT} E[\max(S(T) - K), 0]$$

假设标的价格的 SDE 为

$$\frac{dS_t}{dt} = rdt + \sigma dB_t$$

说明价格的变化程度在任意长度 $t$ 内的分布满足均值为 $\mu t$ , 方差为 $\sigma^2 t$ 的正态分布.

对于布朗运动, 有性质

$$dB_t^2 = dt$$

$B(t_0 + t) - B(t_0) \sim N(0,t)$

满足上述随机微分方程的股价 $S(t)$ 是一个几何布朗运动, 即

$$S(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t)dB(t)$$

伊藤引理 (泰勒展开到二阶小量并应用 $(dB_t)^2 = dt$, 其实是因为此处的二阶小量仍然是 $t$ 的一阶小量):

$$df(B_t) = f'(B_t)dB_t + \frac 1 2 f''(B_t)dt$$

$$df(x,t) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x}dB_t + \frac 1 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (dB_t)^2 = (\frac{\partial f}{\partial t} + \frac 1 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2})dt + \frac{\partial f}{\partial x}dB_t$$

将 $dX(t) = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB(t)$ 带入, 忽略 $o(dt)$ 得到

$$df = (\frac{\partial f}{\partial t} + a \frac{\partial f}{\partial X} + \frac 1 2 b^2\frac{\partial^2 f}{\partial X^2})dt + b \frac{\partial f}{\partial X}dB$$

这里考虑一个欧式看涨期权 $C(S,t)$,

$$dC = \frac{\partial C}{\partial S}(\mu Sdt + \sigma S dB) + \frac{\partial C}{\partial t} + \frac 1 2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}dt$$

$$= (\frac{\partial C}{\partial S} \mu S + \frac{\partial C}{\partial t} + \frac 1 2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2 S^2)dt + \frac{\partial C}{\partial S}\sigma S dB$$

一个投资组合 $P = -C + \frac{\partial C}{\partial S} S$, 在 $\Delta t$ 时间内价值的变动为

$$\Delta P = -\frac{\partial C}{\partial t} - \frac 1 2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2 S^2$$

可见其消除了随机游动项 $B$ 和期望收益 $\mu$ 的影响. 由 $\Delta P = P r\Delta t$ 可得BS公式的微分方程

$$\frac{\partial C}{\partial t} + rS \frac{\partial C}{\partial S} + \frac 1 2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} \sigma^2 S^2= rC$$

利用扩散过程以及一系列推导, 可以得出

$$C = S(0)N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$$

其中

$$d_1 = \frac{\ln (S(0)/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$$

$$d_2 = \frac{\ln (S(0)/K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$$

$N(d_2)$ 表示风险中性世界中期权被行权的概率, 因此第二项代表着期望成本. 可以推断第一项必然代表着行权得到股票的期望收益(条件期望, 需要满足$S(T) > K$).

我们可以把 $N(d_1)$ 理解为风险中性世界中、按照股票价格加权的行权概率. 这是因为和固定的行权成本 $K$ 不同（$K$ 是独立于股价 $S$ 的）, 收益和股价之间不是独立的. $N(d_1)$ 在数学上还有另外的解释, 它是 “以股票波动率 $\sigma$ 为市场风险定价, 并在以股票为计价单位时, 期权被行权的概率”.

Put-Call Parity 说明了任意时刻下

$$C - P = S - Ke^{-rT}$$

因此

$$P = Ke^{-rT}N(-d_2) - S(0)N(-d_1)$$

注意此处 $N(d) + N(-d) = 1$, $N(x)$ 是标准正态函数的CDF.

在风险中性测度下求解

衍生品的价格等于风险中性测度下的期望收益. 因此我们只需要计算 $E^\mathbb{Q}[\max(S(T)-K,0)| S(0)]$ 然后折现即是看涨期权的价格.

我们的假设是股票价格的变动程度服从带漂移的随机游动,

$$S(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t)dB(t)$$

则

$$d\ln S = (r - \frac {\sigma^2}{2})dt + \sigma dB$$

这里的 $- \frac {\sigma^2}{2}$ 是二阶小量 $dB^2$ 转化而来的, 可以理解成收益的算数平均和几何平均的差.

于是有

$$\ln(S(T)) - \ln (S(0)) = (r - \frac {\sigma^2}{2})T + \sigma \sqrt T Z$$

其中 $Z \sim N(0,1)$.

$S(T) > K$ 对应 $Z > \frac{\ln (K/S_0) - (r - \frac{\sigma^2}{2})}{\sigma \sqrt T}$

记 $d_2 = - \frac{\ln (K/S_0) - (r - \frac{\sigma^2}{2})}{\sigma \sqrt T}$,

$$E^\mathbb{Q}[\max(S(T)-K,0)| S(0)] = \int_{-d_2}^{\infty} (S_T - K) f(Z) dZ = \int_{-d_2}^{\infty} (S_T) f(Z) dZ - K N(d_2)$$

$$\int_{-d_2}^{\infty} S_T f(Z) dZ = \int_{-d_2}^{\infty} S_0 e^{(r - \sigma^2/2) T + \sigma\sqrt T Z} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-Z^2 / 2}dZ$$

$$= e^{rT} S_0 \int_{-d_2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(Z-\sigma \sqrt T)^2}{2}}dZ$$

$$=e^{rT} S_0 \int_{-d_1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{u^2}{2}}du = e^{rT} S_0 N(d_1)$$

于是 $C = e^{-rT} [S_0 e^{rT}N(d_1) - KN(d_2)] = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ 与上一节的结果相同.

Greeks 表示

在求偏导数之前, 先给出一个小结论方便计算：

$$SN'(d_1) = Ke^{-rT}N'(d_2)$$

$$\begin{align*} S/K e^{rT}N'(d_1) = Exp(\ln (S/K) + rT) \frac{1}{\sqrt{2\pi}} Exp({-d_1^2/2}) \end{align*}$$

$$\begin{align*} N'(d_2) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} Exp({-d_2^2/2}) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} Exp(-(d_1 - \sigma \sqrt T)^2/2) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} Exp(-(d_1^2 - 2d_1\sigma \sqrt T + \sigma^2 T)/2) \\ &= N'(d_1)Exp(d_1\sigma \sqrt T - \sigma^2 T /2) \\ &= N'(d_1)Exp(rT + \ln S/K) \end{align*}$$

因此等式成立.

$$\begin{align*} \Delta &= \frac{\partial C}{\partial S} \\ &= N(d_1) + S\cdot N'(d_1)\cdot \frac{1}{S\sigma \sqrt T} - Ke^{-rT}N'(d_2)\frac{1}{S\sigma \sqrt T}\\ &= N(d_1) \end{align*}$$

$$\begin{align*} \Gamma &= \frac{\partial \Delta}{\partial S} \\ &= N'(d_1)\cdot \frac{1}{S\sigma \sqrt T} \end{align*}$$

$$\begin{align*} Vega &= \frac{\partial C}{\partial \sigma} \\ &= S\cdot N'(d_1)\cdot \frac{\partial d_1}{\partial \sigma} - Ke^{-rT}N'(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial \sigma} \\ &= S\cdot N'(d_1)[\sqrt T / 2 + \sqrt T / 2] \\ &= S\cdot N'(d_1)\sqrt T \end{align*}$$

$$\begin{align*} Theta &= \frac{\partial C}{\partial t} \\ &= S\cdot N'(d_1)\cdot \frac{\partial d_1}{\partial t} - Ke^{-rT}N'(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial t} +rKe^{-rT} N(d_2)\\ &= S\cdot N'(d_1)[(\frac{r + \sigma^2/2}{\sigma} \frac{1}{2\sqrt T} - \frac 1 2 T^{-3/2} \frac{\ln (S/K)}{\sigma}) -(\frac{r - \sigma^2/2}{\sigma} \frac{1}{2\sqrt T} - \frac 1 2 T^{-3/2} \frac{\ln (S/K)}{\sigma})] + rKe^{-rT} N(d_2)\\ &= S\cdot N'(d_1)\frac{\sigma}{2 \sqrt T} + rKe^{-rT} N(d_2) \end{align*}$$

$$\begin{align*} Rho &= \frac{\partial C}{\partial r} \\ &= S\cdot N'(d_1)\cdot \frac{\partial d_1}{\partial r} - Ke^{-rT}N'(d_2)\frac{\partial d_2}{\partial r} + KTe^{-rT}N(d_2)\\ &= KTe^{-rT}N(d_2) \end{align*}$$

希腊字母

在期权中经常用到的希腊字母有Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho, 简单来说, 反映的是期权的特定风险暴露.

Delta

Delta：表示标的价格每变化一元对应的期权合约价格的变动幅度, 这个数值通常是用小数或百分比来表示的. 例如, 50ETF的价格为3.00元, 执行价格为3.00元, 期权距离到期日还有21天, 目前期权价格为0.02元. 如果50ETF价格上涨到3.02元, 期权价格涨到0.03元, 则此时的Delta值为（0.03-0.02）/0.02=0.5. Delta为0.5表示期权价格上升的幅度是标的价格变动的50%.

$$\Delta = \frac{\partial C_t(T,K)}{\partial S_t}$$

$$= e^{-qT}N(d_1) \quad (CALL)$$

$$= e^{-qT}[N(d_1)-1] \quad (PUT)$$

也可以这么理解, 在无套利定价理论中, 持有一张 (看涨) 期权并买入 (卖出) Delta 单位的股票, 最终带来的风险中性测度下的收益为 0. 粗略的理解下 (微小的价格变动时), 期权的价格变化与股票价格变化乘以 Delta 造成的损益正好方向相反数值相同. (Delta hedge)

注意, 这里对应的变动幅度可以看作标的价格为特定数值时的偏导数, 但是偏导数是价格的函数而不为常数, 因此当价格变动幅度大时, 仅仅使用 Delta 对冲仍然造成较大损失. 考虑泰勒展开到二阶小量, 我们就用到了 Gamma.

一些要点：

• Call的Delta为正值, 取值在0~1之间；Put的Delta为负值, 取值在-1~0之间.

• 平值期权的Delta为0.5, 实值程度越高的期权, Delta绝对值越接近1, 虚值程度越高的期权, Delta绝对值越接近0.

• 正Delta头寸, 意味着期权价格与股票价格正向变动；负Delta头寸意味着期权价格与股票价格反向变动. 因此Delta代表了期权的方向性风险.

• 标的本身的 Delta = 1

Gamma

Gamma：表示标的价格每增加1元对应的 Delta 值的变化幅度. 如果 Delta 值对标的价格的变化特别敏感, 那么 Gamma 值就会显得特别重要, 这种情况被称为 Gamma 风险. 当期权合约快要到期的时候, Gamma 值对合约的影响就会非常明显. 随着期权合约到期时间的来临, 实值期权和虚值期权的 Delta 值会发生变化.

一般来说, 实值期权的Delta值都接近1, 虚值期权的Delta值都接近0. 当标的价格小幅度上涨, 即从执行价格往上微涨时, 就会引起期权合约的Delta值从接近0的数值变化到接近1的数值, 这时就会产生比较大的Gamma值. 在这种情况下, 风险是相当大的, 因为标的价格小幅度下降就会使原本利润可观的看涨期权合约变得毫无价值.

$$\Gamma = \frac{\partial}{\partial S_t} \frac{\partial C_t(T,K)}{\partial S_t} = \frac{N'(d_1)e^{-qT}}{S_0 \sigma \sqrt T}$$

一些简单要点：

• Call、Put的Gamma值都为正值, 因此, 当拥有期权多头头寸, 即买入期权时, 无论买入Call或Put, 你都拥有+Gamma头寸；卖出Call或Put时, 都拥有 - Gamma头寸, 这一点跟Delta不同；

• 随着时间流逝, 实值和虚值期权的Gamma值会减小, 平值期权的Gamma值会增大, 尤其是平值期权临近到期日时, Gamma值会急剧增大；

• Gamma实际上通过影响Delta从而影响期权价格, 代表了期权价格的变化速度, 或曰量级风险.

• 标的本身的 Gamma = 0

Vega

Vega：表示期权对标的资产价格波动率变动的敏感度, 当波动率变化一个单位时, 期权价格理论上的变化. 比如, 某期权的Vega值为0.15, 若价格波动率上升（下降）1%, 则期权的价格将上升（下降）0.15. 当价格波动率增加或减少时, 期权的价格也会相应地增加或减少. 因此, 买入看涨期权与看跌期权的Vega值都是正数. 也可以说, 期权多头部位的Vega值都是正数, 期权空头的Vega值都是负数.

$$Vega = \frac{\partial C_t(T,K)}{\partial \sigma}$$

$$=S_0\sqrt T N'(d_1)e^{-qT}$$

Vega值永远都是正数, 值越大, 投资者面对波动率变化的风险便越大.

一些要点：

• Vega总是正值, 波动率不可能为负；

• 期权的价值总是随着波动率的上升而增加, 随着波动率的下降而减小. 因为更大的波动性, 意味着价格更大的波动可能, 因此更有价值；

• 平值期权, 相对于实值、虚值期权来说, 对波动率更为敏感；

• 到期日更长的期权, 比到期日短的期权, 对波动率更为敏感.

• 标的本身的 Vega = 0

Theta

Theta：每单位时间内（通常为一天）期权合约的价格变化程度. Theta 值通常是负的, 因为期权合约的价格会随着时间的流逝而减少. 期权合约的时间价值损失也被称为 Theta 衰变. 平值期权的时间价值损失的大小和期权合约从计算之日至到期日的时间长度的平方根成反比.

一些要点：

• Theta值与其他希腊字母都不同. 因为期权总是在一定时间段内的权利, 而时间是单向度流逝的, 因此期权的时间价值总是在衰减的.

• 买入期权, 每天都会流逝时间价值, 即拥有 –Theta ；卖出期权, 每天都会收获时间价值, 即拥有 +Theta.

• 根据Gamma的要点, 我们知道, 买入期权, 都是+Gamma, 卖出期权, 都是 –Gamma, 因此, Theta值的符号与Gamma值必定是相反的.

$$\Theta = \frac{\partial C_t(T,K)}{\partial t}$$

$$= \frac{S_0 N'(d_1)\sigma e^{-qT}}{2\sqrt T}-qS_0N(d_1)e^{-qT} + rKe^{-rT} N(d_2) \quad (CALL)$$

$$= \frac{S_0 N'(d_1)\sigma e^{-qT}}{2\sqrt T}+qS_0N(-d_1)e^{-qT} - rKe^{-rT} N(-d_2) \quad (PUT)$$

Rho

Rho: 代表无风险利率的单位变动对期权价格产生的影响, 通常来说指无风险利率变动1%的情况下, 对期权价格的影响程度.

$$\rho = \frac{\partial C_t(T,K)}{\partial r}$$

$$= KTe^{-rT}N(d_2) \quad (CALL)$$

$$= -KTe^{-rT} N(-d_2) \quad (PUT)$$

一些要点：

• 对Call来说, Rho是正值, 利率上升, 期权价值增加；对Put来说, Rho是负值, 利率上升, 期权价值减小；

• 对Call 来说, 股票价格越高, 利率的影响越大；对Put来说, 股票价格越低, 利率影响越大. 并且, 利率对实值期权的影响, 大于对虚值期权的影响；

• 随着临近到期日, 利率对期权价值的影响越小.

Cash Greeks

由于不同标的不同到期日的的希腊值不能直接相加, 不适合做整体投资组合的管理, 因此往往使用cash greeks. 这表示期权价格随对应参数的变动程度. 这个值可以直接相加, 也更方便计算风险敞口.

cash_delta = position * exe_ratio * delta * S

cash_gamma = position * exe_ratio * gamma * S

cash_vega = position * vega * exe_ratio

cash_theta = position * theta * exe_ratio

cash_charm = position * charm * exe_ratio * S

cash_vanna = position * vanna * exe_ratio * 100

cash_vomma = position * vomma * exe_ratio

cash_speed = position * speed * exe_ratio * S

cash_zomma = position * zomma * exe_ratio * S

收益分解

由于希腊字母是期权价格对各个变量的一阶、二阶偏导数, 通过对 BS 公式求全微分可以对收益进行拆分.

$$\Delta PNL = \Delta S \times Delta + 1 / 2 \times \Delta S^2 \times Gamma + \Delta t \times Theta + \Delta Sigma \times Vega$$

Delta 对冲

通过动态对冲规避掉标的物价格（Delta）对投资组合的影响后, 则能将交易策略的重心转移到波动率和时间维度上（Gamma、Theta 和 Vega）, 通过判断隐含波动率（Implied Vol）与未来的已实现波动率（Realized Vol）之间的相对低估或是高估, 则有机会通过买入期权+使用标的物动态对冲来实现做多波动率的策略, 可以在较低的承担较低的时间价值（Theta）损耗下获取可观的高抛低吸（Gamma）的收入；或是通过卖出期权+使用标的物动态对冲来实现做空波动率的策略, 即在承担一定低卖高买的对冲成本（Gamma）的情况下来获取期权流逝的时间价值（Theta）.

静态对冲

在构建投资组合时, 通过买卖标的资产 (delta = 1, gamma = 0) 达成 delta 中性. 此时价格的微小变动不会影响投资组合的价值. 而由于 gamma != 0, 收益函数为凸, 理论上价格变化增加时可带来收益.

但是具体操作时, 价格的变动会带来 delta 的变动, 因此原先的投资组合不能维持风险中性. 静态对冲只在展期时调整头寸.

动态对冲

投资者可以动态调整期权持有量或者标的的数量以维持 delta = 0. 但是需要考虑交易成本.

例如, 如果想做多 Gamma 且维持 Delta 中性, 可以在初始时刻买入同等数量的平价Call和Put, 使得Delta=0, Gamma>0. 当标的价格发生偏移时, 平掉所有头寸, 在新的价格位置建仓. 在标的资产价格快速涨跌时总头寸会有盈利.

在一个Delta中性的期权策略中, 如果Theta是较大的正数, Gamma就是很大的负数, 因此, Theta可以作为Gamma的替代指标使用. 高风险总是与高收益对应的. 较高的Gamma值以为着标的资产价格大幅波动时能获得较高的利润, 但与之相伴的较大的Theta值会使得头寸的时间价值快速衰减. 如果预期中的短期大幅波动并没有实现, 那期权头寸就会损失不少时间价值. 因此, 如果投资者要打算选择这样一种具有进攻性的策略的话, 最好也要在心中谨记Theta风险. 期权策略的选择过程实际上是一个权衡的过程, 这种权衡贯穿始终, “天下没有免费的午餐”.

Gamma Scalping

对冲只是手段, 目的是消除标的资产价格变化对投资组合的影响. 当达成了对冲之后, 策略的重心转移到波动率和到期时间上. 基于 波动率回归 的假设, 通过判断当前的隐含波动率是否被高估或者低估, 可以通过承担时间价值的损耗来获取 Gamma 的收入. 这种策略被称为 Gamma Scalping, 是因为其总是在对标的资产进行高抛低吸, 反复削刮可能的收益.

通过买入期权+使用标的物动态对冲来实现做多波动率的策略, 可以在较低的承担较低的时间价值（Theta）损耗下获取可观的高抛低吸（Gamma）的收入；或是通过卖出期权+使用标的物动态对冲来实现做空波动率的策略, 即在承担一定低卖高买的对冲成本（Gamma）的情况下来获取期权流逝的时间价值（Theta）

在实现 Delta 中性的情况下, 做多波动率组合将曝露正的 Gamma、Vega 与负的Theta；而做空波动率组合则正好相反, 希腊字母的曝露为负 Gamma、负 Vega 和正 Theta.

IV HV RV

如果市场上有期权和对应的价格, 通过 BS 公式可以反算出对应的隐含波动率 (Implied Volatility, IV).

• 通过历史数据, 可以计算历史波动率(Historical Volatility, HV).

• 通过不同到期时间以及不同行权价格, 我们可以构建波动率曲面.

Realized volatility, also known as historical volatility, is a measure of the actual volatility that a security or asset has experienced in the past. Implied volatility, on the other hand, is a measure of the expected future volatility of a security or asset, as implied by the prices of options on that security or asset.

历史波动率的度量

最简单的历史波动率度量是历史收益率的标准差.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (X_i - \bar X)^2}{N-1}}$$

如果日波动率为 $\sigma$ 则年波动率为 $\sqrt{252}\sigma$.

除了上述方法, Parkinson估计量、Garman-Klass估计量和Yang-Zhang估计量等估计方法都是在标准方差波动率基础上进行了一定的改进.

• Parkinson(1980)估计量采用了交易时段最高价和最低价两个价格数据, 利用极差进行估计, 该估计量只需要较少的时间周期就可以收敛于真实波动率. 该估计量可以使价格波动区间在一定假设下比基于收盘价的估计量更能有效地估计回报波动率.

• Garman-Klass（1980）利用了交易时段最高价、最低价和收盘价三个价格数据进行估计, 该估计量通过将估计量除以调整因子来纠正存在的偏差, 以便得到方差的无偏估计. 但Garman-Klass（1980）估计量无法解决价格序列中存在跳空开盘的情况.

• Yang-Zhang（2000）推导出了适用于价格跳空开盘的估计量, 本质上是各种估计量的加权平均.

经典策略

做空波动率

我们可以发现 Market will consistently overprice short term option. 因此, implied vol is usually higher than realized vol.
所以非常经典的策略就是Sell Vol, 赚 vol risk premium

Short ATM 1 Month Straddle (Short ATM Call and Put) and dynamic delta hedge. Short Straddle, Gamma 是负的, implied vol > realized vol, 所以赚钱. 1 Month 的原因是Gamma has less prob to become less negative. Short vol 的缺点在于, 如果市场有剧烈的波动, 尤其是go down, 那么realized vol 会有一个spike 导致realized vol 大于 implied vol, 那么就会亏损.

如果做期权交易, 一定要明白我们利润的来源到底是什么, 不考虑delta的情况下我们是赚的是long gamma来的gamma, 还是由于implied vol涨跌带来的vega收益, 甚至于赚取波动率曲面的skew和convex, 甚至于不同期限下long gamma short vega. 一个很需要期权交易员思考的问题是, 你的iv到底是怎么计算的, 你的无风险利率是多少, 你是用交易日还是日历日计算iv, 你是否需要考虑资金成本和carry cost, 最后得到的iv都是不同的, 甚至得出put call的iv都会不完全相同, 所以我不赞同简单的对比iv和hist vol来做为多空波动率的唯一依据. (链接：https://www.zhihu.com/question/52172444/answer/1481315501 来源：知乎)

由

$$Theta \approx -1/2 Sigma^2 \times S^2 \times Gamma$$

代入之前的损益表达式, 可得

$$\Delta PNL = 1/2 \times S^2 \times Gamma \times [(\frac{\Delta S}{S})^2 - Sigma^2 \times \Delta t] + \Delta Sigma \times Vega$$

$(\frac{\Delta S}{S})^2$ 表示真实波动率, 它和 IV 的大小关系决定了做 Gamma 能否赚钱.

Theta 与 Gamma

做空波动率的隐含意义就是预期未来的波动率会下降, 即标的价格不会有大幅度变动. 因此这样的策略在标的价格变动不大时盈利, 而在标的价格大幅变动时亏损. 一个简单的做空波动率的策略是 short straddle, 即同时卖出当前价格最接近的看涨和看跌期权. 可以看出此时的收益在当前价格附近的小区间内为正, 而两侧的亏损逐渐趋向正无穷. 显然这样的策略风险敞口并不可控, 因此实际操作上可能需要实时动态调仓（维持当期价格最近的straddle）或者买入更价外的合约来限制敞口. 不论以什么样的形式构建, 我们的目标是在希望暴露的风险项上暴露足够的风险, 而完全对冲不希望暴露风险的项目.

另一个视角

众所周知, 期权的价格可以通过 BS 公式推导出, 或者说我们使用的指标都是用实际价格和 BS 公式反算出来的. 那么在市场完备的情况下, 如果市场的波动率真如 Gamma 描述, 我们的期望收益是零吗？或者说我们做空Gamma的策略是不是牺牲巨额的尾部风险来换取更多次数的小赚呢？

期权是有溢价的, 这来自于期权自带杠杆并且可能获得更多收益. 溢价随着期权到期逐渐收敛到零, 在风险中性的角度来看, 每个时刻上这种预期的更高收益和溢价构成了同一个确定性等价, 因此才有人愿意买也有人愿意卖. 在这种理解下期权给人的预期收益纯粹就是期权所对应的利息, 因此卖一个期权, 赚的就是无风险利率的钱. 在回测中我们可以看到, 如果不计算手续费, 利用IV和HV指标进行gamma暴露的策略往往在开空单时赚钱, 而在开多单时亏钱（哪怕此时的IV已经低于HV很多仍然容易如此）. 以中证500对应的期权为例, 2023年上半年的策略在做空Gamma为主的情况下赚取的收益为4%（费前费后略有上下偏差）, 这和对应的利率基本上相同（考虑到融资成本并不等于无风险利率以及风险溢价）, 那么我们辛苦忙活半年, 难道只是给券商送手续费而维持存款利息吗？

期权的价格随时间的变动程度为 Theta, 即使市场没有发生任何变动, 期权的价格也会随着时间逐渐减少.

可以看出期权随时间消逝的价格确实和利率相关, 但不完全就是利率. 如果不暴露其余希腊字母, 赚取 Theta 是否可行？

理论上这是成立的, 因为Theta不完全等于r, 最简单的理解方式就是到期日临近时Theta会急剧上升, 因此不同期权在同一时间的Theta是可以不一样的.

因此, 在卖出期权从而做空Gamma的过程中, 我们应该十分小心地分析收益的来源到底是真的波动率如预期改变(IV还是HV), 还是我们赚到的其实是 Theta 的钱.

不同人的风险偏好问题

这里来回顾一个经典的经济学问题：不确定市场上的价格（也可以是利率, 一切反映当下与未来关联的量）是怎么确定的.

收益不能直接等于人的效用, 在确定的情况下需要通过效用函数转换. 虽然这个函数一般是连续且单调的, 但是未必线性可加（即不同状态下期望收益的效用不等于期望的收益效用）. 因此, 不同效用函数的人在最大化未来的不确定收益的效用的期望时, 会做出的决定也不同.

这里先用最简单的利率的例子来说明. 假设效用函数和未来的状态使得甲在利率为5%时无差异, 此时他愿意以5%借入或者借出钱, 而乙的无差异利率为3%. 如果市场上有4%的存款借款服务, 则甲一定会借钱, 而乙存钱. 市场上的人多到无差异利率接近连续时, 可以找到一个中间的利率, 使得借入和借出的钱刚好出清, 于是就形成了市场利率.

可以看出, 市场利率在有些人看来偏高, 有些人看来偏低, 这取决于每个人的效用函数. 这对于复杂的市场（例如期权期货）来看依然如此, 或许从期望收益来看市场没有套利的可能, 但是从期望效用的角度每个人都有套利的机会, 并且甚至可能会使得市场的定价存在正的期望收益, 这对于风险偏好比较中性的人来说就是正的期望效用. 从这个角度可以解释为什么Theta并不等于利率r.

中信研报中的三个问题

• 第一, 各个价差组合到期时的损益比较容易计算, 但是进行波动率交易时大多仅持有数个交易日, 真正持有到期的情况比较少见, 那么在持有期之内价差组合的价格将怎样变化?各类市场变量将怎样影响价差组合的价格变化?

• 第二, 构建价差组合时可以选择不同行权价、不同到期日的期权合约, 这些合约当前的市场价格不同, 所构建组合的收益结构也不尽相同, 那么要怎样选择最优的组合?

• 第三, 随着交易的不断进行, 交易者可能需要不断调整组合持仓, 增加新的价差组合或者平仓老的组合, 这导致总持仓将变得较为复杂, 那么又如何分析复杂组合的风险?

要回答上述问题, 就要对期权组合当前所承担的风险进行分析. 分析的目的是将风险进行分解, 并根据分析的结构不断调整持仓结构, 直到组合的各类风险暴露符合我们的交易目标为止. 风险分析主要包括两个部分, 一是对组合的希腊字母风险评估, 二是对组合进行情景测试.

希腊字母风险评估

现金希腊值是风险控制的要素, 上文已经讨论计算方法.

情景测试

模拟某一市场变量发生变化时组合价值的变化情况.