均值方差分析

不存在无风险资产

资产期望收益为 μ\mu

资产间的协方差矩阵为 Ω\Omega

希望确定一个投资组合 ww , 在期望收益不小于 rr 的情况下最小化方差

优化问题等价于

min⁡12w′Ωws.t. w′1⃗=1,w′μ≥r‾.\begin{align*} \min & \frac 1 2 w'\Omega w \\ \text{s.t. } & w'\vec 1 = 1, \\ & w'\mu \ge \underline r. \end{align*}

引入 KT 乘子和拉格朗日乘子求解优化问题.

L=−12w′Ωw+λ(w′1⃗−1)+η(w′μ−r‾)L = -\frac 1 2 w'\Omega w + \lambda(w'\vec 1 - 1) + \eta (w'\mu - \underline r)

对向量 ww 求导, 得

∂L∂w=−Ωw+ημ+λ1⃗=0.\frac{\partial L}{\partial w} = -\Omega w + \eta \mu + \lambda \vec 1 = 0.

当随机变量线性无关时, Ω\Omega 是正定矩阵, w=ηΩ−1μ+λΩ−11⃗w = \eta \Omega^{-1} \mu + \lambda \Omega^{-1} \vec 1.代入两个约束条件,得

ημ′Ω−11⃗+λ1⃗′Ω−11⃗=1ημ′Ω−1μ+λ1⃗′Ω−1μ=r‾\begin{align*} \eta \mu' \Omega^{-1} \vec 1 + \lambda \vec 1'\Omega^{-1} \vec 1 &= 1 \\ \eta \mu' \Omega^{-1} \mu + \lambda \vec 1'\Omega^{-1} \mu &= \underline r \end{align*}

记 A=μ′Ω−1μA = \mu' \Omega^{-1} \mu, B=μ′Ω−11B = \mu' \Omega^{-1} 1, C=1′Ω−11C = 1'\Omega^{-1}1, 则 λ,η\lambda, \eta 的方程可以表示成

ηB+λC=1ηA+λB=r‾\begin{align*} \eta B + \lambda C &= 1 \\ \eta A + \lambda B &= \underline r \end{align*}

解得η=Cr‾−BAC−B2\eta = \frac{C \underline r - B}{AC - B^2}, λ=A−Br‾AC−B2\lambda =\frac{A - B\underline r}{AC - B^2}

w∗=ηΩ−1μ+λΩ−11=Cr‾−BAC−B2BΩ−1μB+A−Br‾AC−B2CΩ−11C\begin{align*} w^* &= \eta \Omega^{-1} \mu + \lambda \Omega^{-1} 1 \\ &= \frac{C \underline r - B}{AC - B^2}B \frac{\Omega^{-1}\mu}{B} + \frac{A - B\underline r}{AC - B^2} C \frac{\Omega^{-1} 1}{C} \end{align*}

记 Cr‾−BAC−B2B=θ\frac{C \underline r - B}{AC - B^2}B = \theta , A−Br‾AC−B2C=1−θ\frac{A - B\underline r}{AC - B^2} C = 1 - \theta, 则最优的投资组合可以表示成 wA=Ω−11⃗Cw_A = \frac{\Omega^{-1}\vec 1}{C} 和 wB=Ω−1μBw_B = \frac{\Omega^{-1}\mu}{B} 的线性组合. 这就是两基金分离定理.

注意到 wAw_A 是对收益率无约束是能达到的最小方差的投资组合.

(Ω−1μB−Ω−11C)′Ω−1(Ω−1μB−Ω−11C)=AC−B2B2≥0(semi−positivedefinitematrix)(\frac{\Omega^{-1}\mu}{B} - \frac{\Omega^{-1}1}{C})'\Omega^{-1}(\frac{\Omega^{-1}\mu}{B} - \frac{\Omega^{-1}1}{C}) = \frac{AC - B^2}{B^2} \ge 0 \quad (semi-positive definite matrix)

因此

η=Cr‾−BAC−B2>0\eta = \frac{C \underline r - B}{AC - B^2} > 0

如果 r‾>BC\underline r > \frac B C , we have w∗=Cr‾−BAC−B2BΩ−1μB+A−Br‾AC−B2CΩ−11Cw^* = \frac{C \underline r - B}{AC - B^2}B \frac{\Omega^{-1}\mu}{B} + \frac{A - B\underline r}{AC - B^2} C \frac{\Omega^{-1} 1}{C}

(否则r的约束等于无约束, w∗=Ω−11Cw^*= \frac{\Omega^{-1}1}{C})

投资组合的方差

w′Ωww'\Omega w

w∗w^* 代入, 得

σp2=η2A+2ηλB+λ2C=1(AC−B2)2⋅[Cr‾(AC−B2)−2Br‾(AC−B2)+A(AC−B2)]=Cr‾2−2Br‾+AAC−B2\begin{align*} \sigma_p^2 &= \eta^2 A + 2\eta \lambda B + \lambda^2 C \\ &= \frac{1}{(AC - B^2)^2} \cdot [C \underline r (AC - B^2) - 2B\underline r (AC - B^2) + A (AC - B^2)] \\ &= \frac{C \underline r^2 - 2B\underline r + A}{AC - B^2} \end{align*}

是要求收益率 r‾\underline r 的二次函数.

所以收益率-方差的图上应当是在一四象限的开口向右的抛物线

若以收益率rr 为纵轴, 以标准差 σ\sigma 为横轴, 画出的图上依然是向右凸的曲线.

存在无风险资产的情况

一种直观的思路

无风险资产的期望收益为 rfr_f, 与任何资产的协方差都是 00.

考虑任何一种其他资产 (也可以是一个固定w的投资组合, 期望收益为 rr, 方差为 σ2\sigma^2) 和无风险资产的线性组合, 权重分别是 (w,1−w)(w, 1 - w). 则组合的收益率为 rf+w(r−rf)r_f + w(r - r_f), 方差为 w2σ2w^2 \sigma^2, 考虑 ww 取遍实数(超出 [0,1][0,1] 表示买空卖空)在 r,σr,\sigma 上的图像, 是一条经过 (0,rf)(0,r_f), 斜率为 sharpratio=r−rfσsharp ratio = \frac{r - r_f}{\sigma} 的直线.

记从 (0,rf)(0,r_f) 引出对原先投资前沿的切线与投资前沿的切点对应的市场组合为 PMP_M, 则给定收益率要求, 最优的投资组合一定是这条切线上收益率为 rr 的点, 即无风险资产和 PMP_M 的线性组合. 这就是存在无风险资产的两基金分离定理.

注意: 这里可以引出两条切线. 应当取斜率绝对值更大的一条. 因为如果 sharpratiosharp ratio 为负且很大, 则卖空这个投资组合, 可以使得 r,σr,\sigma 曲线反转(收益反转方差不变), 取得更好的结果.

数学上更暴力的思路

引入了无风险资产后, 对应的所有矩阵都增加了一个维度:

Ω~=[00⃗′0⃗Ω]\tilde \Omega = \left[ \begin{matrix} 0 & \vec0'\\ \vec0 & \Omega \end{matrix}\right]

w~=[w0w⃗N×1],μ~=[rfμ⃗N×1]\tilde w = \left[ \begin{matrix} w_0\\ \vec w_{N\times1} \end{matrix}\right], \tilde \mu = \left[ \begin{matrix} r_f\\ \vec \mu_{N\times1} \end{matrix}\right]

w0=1−w′⋅1⃗w_0 = 1 - w' \cdot \vec1

考虑到协方差矩阵的第一行和第一列都是0, 在计算方差时的结果和直接计算min⁡12w′Ωw\min \frac 1 2 w'\Omega w 是一样的.

min⁡12w′Ωw\min \frac 1 2 w'\Omega w

s.t. w′μ+(1−w′1⃗)rf≥r‾\text{s.t. } w'\mu + (1 - w'\vec 1)r_f \ge \underline r

约束等价于

w′(μ−rf1⃗)≥rew'(\mu - r_f \vec 1) \ge r_e

rer_e 是超额收益率

L=−12w′Ωw+λ(w′(μ−rf1⃗)−re)L = - \frac 1 2 w'\Omega w + \lambda (w'(\mu - r_f \vec 1) - r_e)

F.O.C.

w=λΩ−1(μ−rf1⃗)(*)w = \lambda \Omega^{-1}(\mu - r_f \vec 1) \tag{*}

代入约束条件, 得

λ(μ−rf1⃗)′Ω−1(μ−rf1⃗)=re\lambda (\mu - r_f \vec 1)' \Omega^{-1} (\mu - r_f \vec 1) = r_e

解出 λ=re(μ−rf1⃗)′Ω−1(μ−rf1⃗)≥0\lambda = \frac{r_e}{(\mu - r_f \vec 1)' \Omega^{-1}(\mu - r_f\vec 1)} \ge 0(KT 乘子条件), 代回 (*) ,

w={re(μ−rf1⃗)′Ω−1(μ−rf1⃗)Ω−1(μ−rf1⃗)if r‾≥rf0if r‾<rf\begin{equation*} w = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{r_e}{(\mu - r_f \vec 1)' \Omega^{-1}(\mu - r_f\vec 1)} \Omega^{-1}(\mu - r_f \vec 1) & if \ \underline r \ge r_f\\ 0 & if \ \underline r < r_f \end{array} \right. \end{equation*}

如果投资, 在风险资产上的总投资是

1′w=re(μ−rf1⃗)′Ω−1(μ−rf1⃗)(1′Ω−1μ−rf1⃗′Ω−11⃗)=re(μ−rf1⃗)′Ω−1(μ−rf1⃗)(B−Crf)=re(μ−rf1⃗)′Ω−1(μ−rf1⃗)C(BC−rf)\begin{align*} 1'w &= \frac{r_e}{(\mu - r_f \vec 1)' \Omega^{-1}(\mu - r_f\vec 1)} (1'\Omega^{-1}\mu - r_f \vec 1' \Omega^{-1} \vec 1)\\ &= \frac{r_e}{(\mu - r_f \vec 1)' \Omega^{-1}(\mu - r_f\vec 1)} (B - C r_f) \\ &= \frac{r_e}{(\mu - r_f \vec 1)' \Omega^{-1}(\mu - r_f\vec 1)} C (\frac B C - r_f) \end{align*}

即如果 BC>rf\frac B C > r_f, 我们将会在风险资产上投入正的比例。反之我们并不是不投资, 而是整体而言在做空风险资产.

考虑 ww 规范到 11 之后的向量

wp∗=w1′w=11⃗′Ω−1[μ−rf1⃗][Ω−1μ−rfΩ−11⃗]=1⃗′Ω−1μ1⃗′Ω−1[μ−rf1⃗]Ω−1μ1⃗′Ω−1μ+−rf1⃗′Ω−11⃗1⃗′Ω−1[μ−rf1⃗]Ω−11⃗1⃗′Ω−11⃗=BB−rfCΩ−1μ1⃗′Ω−1μ+−rfCB−rfCΩ−11⃗1⃗′Ω−11⃗=θΩ−1μ1⃗′Ω−1μ+(1−θ)Ω−11⃗1⃗′Ω−11⃗\begin{align*} w_p^* &= \frac w {1' w} \\ &= \frac{1}{\vec 1' \Omega^{-1} [\mu - r_f \vec 1]}[\Omega^{-1}\mu - r_f\Omega^{-1} \vec 1] \\ &= \frac{\vec 1' \Omega^{-1} \mu}{\vec 1' \Omega^{-1}[\mu - r_f \vec 1]}\frac{\Omega^{-1} \mu}{\vec 1' \Omega^{-1}\mu} + \frac{-r_f \vec 1' \Omega^{-1}\vec 1}{\vec 1' \Omega^{-1}[\mu - r_f \vec 1]} \frac{\Omega^{-1} \vec 1}{\vec 1' \Omega^{-1} \vec 1} \\ &= \frac{B}{B - r_f C}\frac{\Omega^{-1}\mu}{\vec 1' \Omega^{-1} \mu} + \frac{-r_f C}{B - r_f C} \frac{\Omega^{-1} \vec 1}{\vec 1' \Omega^{-1} \vec 1} \\ &= \theta\frac{\Omega^{-1}\mu}{\vec 1' \Omega^{-1} \mu} + (1 - \theta)\frac{\Omega^{-1} \vec 1}{\vec 1' \Omega^{-1} \vec 1} \end{align*}

其中 θ=BB−rfC\theta = \frac{B}{B - r_f C}, 可以看作两种资产的组合, 后者是没有收益率约束时风险资产可以达到的最小方差组合。

B/C>rfB/C > r_f 时我们做多风险资产 wp∗w_p^*, 且这一风险资产在均值方差组合的上翘端; 反之这一风险资产在均值方差组合的下降端。

最优投资组合的方差是

w′Ωw=re2(μ−rf1⃗)′Ω−1(μ−rf1⃗)w'\Omega w = \frac{r_e^2}{(\mu - r_f \vec 1)'\Omega^{-1}(\mu - r_f \vec 1)}

直接得到sharpratio2sharp ratio^2

SR2(r)=(μ−rf1⃗)′Ω−1(μ−rf1⃗)SR^2(r) = (\mu - r_f \vec 1)'\Omega^{-1}(\mu - r_f \vec 1)

通过做空资产组合,可以使得夏普率符号改变!