无套利定价

本文主要复习无套利定价以及put-call parity，期权价格的上下界。

无套利定价

所谓的 arbitrage free 或者说 zero arbitrage，也就是“空手套白狼”，直观上非常简单——我不能在不付出任何成本的情况下总是不亏，且有时候能获利。仔细理解一下这句话，它说了几件事：

  1. 不付出任何成本，也就是说一开始我什么都没有。但是这不意味着我完全零头寸，因为我可以借钱买东西。

  2. 总是。这是一个很强的条件。未来有很多可能，我要在任何可能的情况出现的时候都不能亏才叫做总是。

  3. 有时候能获利。也就是说在满足上一条的条件下我还能在有的情况下赚钱，或者说期望收益是正的（这里粗略一点，因为在概率为零时获利其实是不严谨的）。

如果同时满足以上三条，则叫做套利。我什么都没有，然后总是还能不亏有时候赚钱，那我重复这样的事情就可以赚到爆炸。理性世界中这肯定是不现实的，因为有这样的机会人就会参与，参与的人多了机会就不存在了。所以说金融的定价总是无套利的，套利机会会被套利的人利用然后就没了。

从这里衍生出来看，金融市场中不存在套利机会，所以一个投资组合，如果构建成本是零，如果其收益不是常数，其收益的最高点一定是正的，最低点一定是负的。

两个投资组合，如果在未来任何情况下收益都完全一样，那么应当有相同的构建成本，否则从存在套利（买便宜的卖贵的）。

put call parity

推导之前再重申几个概念：

  1. 不同时间下的价值不能直接比较，今天的100元和1年后100元肯定不一样，一定要比，都折合到同一个时间上，可以用利率（e−rTe^{-rT}），也可以直接用抽象表述 FV(future value) PV(present value)。今天的钱 k 在时间t之后价值为 FV(k) 或者 ketk e^t，是说的一件事。

考虑第一种情况，有个股票，会派股息，股息折现到现在价值 PV(D)。考虑第一种投资组合：

买一张 call，持有 Ke−rT+PV(D)K e^{-rT} + PV(D) 的债券，到期的时候收益为

max⁡(0,ST−K)+erT(Ke−rT+PV(D))\max (0, S_T - K) + e^{rT} (K e^{-rT} + PV(D))

第二种投资组合：
持有股票，买一张同价格的 put，到期时候的收益为

max⁡(0,K−ST)+ST+erTPV(D)\max(0, K - S_T) +S_T + e^{rT} PV(D)

两个结果化简之后完全一致，所以这两个投资组合的构建成本应当完全一样，所以

c+Ke−rT+PV(D)=p+S0c + K e^{-rT} + PV(D) = p + S_0

就是put call parity的等式。

上面的等式中， c 和 p S_0 都是现在的价格，也就是说，我在构建时就要付出的价格，或者说叫做 premium-settled。如果我的股票不是股票，而是期货，我只要在到期日交钱拿货，那期初就不需要这么多成本。可以想象我最终要执行的期货价格为 F，则我一开始只要准备 Fe−rTF e^{-rT} 的钱，在到期增值为 F 刚刚好。

所以这时候两种组合分别为 call加上价值为 K 的债券，put加上一份期货，二者都没有股息了。自行修改上述的到期价值发现也是一样的，注意期货到期的价值为 STS_T，所以我们得到

c+Ke−rT=p+Fe−rTc + K e^{-rT} = p + F e^{-rT}

如果期权也是 margin-settled，也就是说 c 的钱在到期才用交，一开始只要准备 ce−rTc e^{-rT}。同理我们得到了

ce−rT+Ke−rT=pe−rT+Fe−rT⇒c−p=F−Kce^{-rT} + K e^{-rT} = pe^{-rT} + F e^{-rT} \Rightarrow c - p = F - K

在构造的过程中，put call parity 的核心是让不确定的项相等，也就是包含股票价格的 max() 表达式。至于别的项都是常数，左右如果不一致补上一定量的债券使其到期相等即可。

Box

从上面 premium-settled 结果考虑两个不一样 K 的等式做差，得到 Box spread 的表达式。

(C1−P1)−(C2−P2)=(K2−K1)e−rT(C_1 - P_1) - (C_2 - P_2) = (K_2 - K_1) e^{-rT}

期权价格的上下界

再次注意时刻注意计算是放在当下还是放在到期，时间不一致的量需要折现。

此处使用第一节无套利的另一种应用——从0成本的组合不能构造出全非负或者全非正的收益，其最大值大于0，最小值小于0.

其实 put call parity 也可以这样构造，我把两个投资组合合成为一个， 买call卖put卖股票最后买卖债券让我的构建成本为 00. 最后我的收益为常数，这个常数一定要是零不然就能套利了。

其实这个不等式叠加上 call put 价格非负的常识就可以构造出基本的价格上下界。用call表示put的价格使得put价格非负，得到

p=c−S+PV(K)≥0p = c- S + PV(K) \ge 0

考虑持有股票并卖出一张call，为了零成本还需要持有债券 (c−S)(c-S)。到期时的价值为 ST−max(0,ST−K)+FV(c−S)S_T - max(0, S_T-K) + FV(c-S).此函数对于 STS_T 在 (0,K)(0,K) 单调增，在 (K,∞)(K,\infty) 为常数 K+FV(c−S)K + FV(c-S)。根据无套利原理，函数的最大值大于等于零，所以 K+FV(c−S)≥0K + FV(c-S) \ge 0 两边都折现到当下得到 c≥S−PV(K)c \ge S - PV(K)。函数的最小值为 FV(c−S)≤0FV(c-S) \le 0 折现后得到 c≤Sc \le S。于是我们得到欧式期权的价格满足不等式

S−PV(K)≤c≤SS - PV(K) \le c\le S

考虑持有股票并买一张put，为了零成本持有债券的数量为 (−p−S)(-p-S)。到期时的价值为 ST+max(0,K−ST)+FV(−p−S)S_T+max(0, K-S_T) + FV(-p-S)，对于 STS_T 在 (0,K)(0,K) 为常数 K−FV(p+S)K - FV(p+S)，在 (K,∞)(K,\infty) 单调增。根据无套利原理，最小值小于等于零，折现后得到 p≥FV(K)−Sp \ge FV(K) - S。

考虑单独持有一张put，为了零成本持有债券的数量为 (−p)(-p)。到期时的价值为 max(0,K−ST)−FV(p)max(0, K-S_T) - FV(p)。其最大值为 ST=0S_T=0 对应的 K−FV(p)≥0K-FV(p) \ge 0，最小值为 ST≥KS_T \ge K 时的 −FV(p)≤0-FV(p) \le 0。折现到当下得到 $$0 \le p \le PV(K)$$

此外，call 的价格也是非负的，这点用借款买期权收益最小值非正很容易得到。

美式期权

美式期权允许在任何时刻选择行权。

不考虑派息，美式看涨期权不会提早行权，美式看跌期权可能提早行权。
首先证明美式看涨期权提前行权会更差。关键在于提早行权要提早付K且承担股票价格最终低于K的损失，两边打脸。构造一个投资组合call加上 FV=KFV=K 的现金，持有到期的价值为 max(ST,K)max(S_T,K)。提早行权时关键在于要提早支付 KK，此时到期的价值为 ST+K−Ker(T−t)≤STS_T + K - K e^{r(T-t)} \le S_T。因此提前行权总是更差，美式看涨等同于欧式看涨。

对于看跌期权，提早行权后的现金会产生时间价值。考虑投资组合为put加上股票，不提前行权的到期价值为 max(ST,K)max(S_T,K)，行权的到期价值为 Ker(T−t)Ke^{r(T-t)}，可以构造出提前行权收益更大的case，所以有可能提前行权。

所以不派息的美式看涨期权的不等式同欧式期权，对于看跌期权，还要考虑提前行权的情况。如果在 t 时刻行权，t 时刻收益的上下限分别是 K−SK-S 和 KK。现在考虑它的上限，为 KK 从t折现到现在，只能更小不能更大，且 t=0t=0 时可以取等，所以

p≤Kp \le K

直接行权的收益为 K−SK-S，其价格肯定不能低于这个数，否则直接套利，因此

K−S≤p≤KK- S \le p \le K

考虑股息

欧式期权一样构造，到期时股票的价值增加一项股息的FV(D)FV(D)。折现后这一项为 PV(D)PV(D) 得到

S−PV(K)−PV(D)≤c≤S−PV(D)S-PV(K) - PV(D) \le c \le S-PV(D)

put同理，但是注意约束股息的现值不能超过股票价格，不然会有套利。

美式期权

对于call，派息存在时提前行权可以得到派息，此部分的好处大于早支付K的差异时就会提早行权。立即行权的收益为 S-K，因此增加额外约束

c≥S−Kc \ge S-K

对于put，考虑立即行权的不等式 p≥K−Sp \ge K-S 和持有到期的不等式 p≥PV(K)+PV(D)−Sp \ge PV(K) + PV(D) - S，同时注意约束 S≥PV(D)S \ge PV(D)